J'utilise Android 6.0.1, donc cela peut ne pas fonctionner pour certains. Je l'ai utilisé pour WhatsApp, voir le commentaire ci-dessous.
Allez dans Paramètres -> Notifications -> AVANCÉ (en haut à droite) -> (Choisissez l'application que vous voulez) -> (appuyez sur la petite icône d'information en haut à droite) -> Notifications -> Plus de paramètres -> Notification popup -> Toujours afficher la popup
(voir image ci-dessous). J'ai testé que ce paramètre est ce qui fait la différence, puisque le paramètre Seulement quand l'écran est allumé n'affichait pas les notifications en écran verrouillé. Mais il s'agit d'un paramètre de WhatsApp, car je pouvais également y accéder depuis WhatsApp.
Je n'ai pas trouvé de paramètre permettant de faire cela dans Android (ni sur une base par application, ni comme paramètre global), et je me demande donc si c'est à chaque application de disposer d'un tel paramètre. Ce billet est donc en partie une réponse et en partie une question !
Remarque : sous Android 6, les paramètres des sons sont séparés de ceux des notifications.