L'une des solutions consiste à utiliser une autre application pour gérer votre Dropbox qui permet cette fonctionnalité. J'utilise Gestionnaire de fichiers Astro pour gérer de manière générale les fichiers de mon appareil, qui peut également être relié directement à votre Dropbox, Google Drive, SkyDrive, etc.
Astro vous offre l'option supplémentaire "Ouvrir sous", à partir de laquelle vous pouvez choisir Texte, Audio, Image ou Vidéo. Sélectionnez "Texte" et vous obtenez la liste habituelle d'applications capables d'ouvrir des fichiers texte, dont l'éditeur de texte DB.
UPDATE : Malheureusement, il semble y avoir une limite au nombre de fichiers qu'Astro FM peut récupérer d'un dossier Dropbox. Quelque part entre 1 000 et 1 100 fichiers, j'obtiens un message "Connection Failed - Could not establish a connection to Dropbox" (échec de la connexion - Impossible d'établir une connexion avec Dropbox) lorsque j'essaie de parcourir le dossier. La limite de 1 000 fichiers (exactement) semble correcte. Il n'y a pas de limite de ce type avec les dossiers ordinaires sur l'appareil.