Ok, le GPS a recommencé à fonctionner. J'ai laissé le téléphone se vider de sa batterie, puis j'ai mis un chargeur et j'ai laissé le logo Sony s'afficher jusqu'à ce que la charge atteigne environ 80% (je l'ai laissé pendant 20-30 minutes en charge). Ensuite, j'ai retiré le chargeur et réinitialisé l'appareil (maintenir les touches d'alimentation et de volume pendant quelques secondes). L'appareil s'éteint et redémarre normalement. Google vous demandera si vous souhaitez autoriser Google à collecter des données de localisation anonymes. Appuyez sur autoriser et vérifiez le GPS en ouvrant l'application Google Maps, ça marche :-)
PS : Je ne sais pas ce qui a fonctionné ici (probablement l'étape de réinitialisation dure), mais j'ai mis toutes les étapes juste au cas où.