Comment faire pour que le navigateur de base cesse de me demander quel navigateur je veux utiliser ?

Non. Android fonctionne avec des intents. Ouvrir un lien demande une intention d'ouvrir une url. Si vous avez plus d'un navigateur et que vous n'avez pas défini de valeur par défaut, Android vous demandera lequel choisir.

Je peux imaginer que certains navigateurs ne suivent pas cette règle de lancement d'une intention et restent dans leur propre programme, mais c'est au programme de décider de la manière de gérer cela.

Le comportement par défaut d'Android n'offre aucune option à cet égard. Comme vous l'avez mentionné, vous obtiendrez toujours la question au début de chaque intention de navigateur (c'est-à-dire demander à Android d'ouvrir une url dans un navigateur). La seule façon d'empêcher cela est de sélectionner une option et de la définir comme valeur par défaut.

D'un autre côté, une fois que vous êtes dans une session de navigateur, le programmeur du navigateur pourrait implémenter la demande d'une url donnée pour qu'elle soit traitée par lui-même, plutôt que de démarrer une nouvelle intention du navigateur. Cela permettrait de résoudre votre problème.

Si vous lancez ensuite un navigateur pour afficher une URL, vous obtiendrez l'option Android pour sélectionner un navigateur. Et les urls suivantes seront simplement ouvertes dans le même navigateur. En d'autres termes, cela dépend vraiment de l'implémentation de ce navigateur.